Nicht-zählendes Rechnen
kommt nicht von selbst

Erste, umfassende Studie über die Entwicklung von Rechenstrategien bei österreichischen ErstklässlerInnen macht massiven Handlungsbedarf im Schulsystem deutlich.

Beim "zählenden Rechnen" löst ein Kind eine Plus- oder Minusaufgabe dadurch, dass es die Zahlwortreihe in Einzelschritten durchläuft. Dafür gibt es eine Reihe von Möglichkeiten. So kann ein Kind 3+4 etwa dadurch lösen, dass es mit "eins, zwei, drei" zunächst drei Finger der einen Hand einzeln aufklappt;  dann mit "eins, zwei, drei, vier" vier Finger der anderen Hand, um schließlich mit "eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben" die Gesamtanzahl der nun ausgestreckten Finger zählend zu ermitteln. Eine demgegenüber weniger umständliche Variante des zählenden Rechnens ist das "Weiterzählen", wo etwa 3+4 dadurch gelöst wird, dass das Kind von "drei" ausgehend um vier Zahlwörter in der Reihe weitergeht: "vier, fünf, sechs, sieben", und das zuletzt genannte Zahlwort "sieben" als Ergebnis der Aufgabe nennt. Daneben gibt es eine Reihe weiterer Zählstrategien, zum Teil mit, zum Teil aber auch ohne (sichtbaren) Einsatz der Finger. Zählendes Rechnen ist also nicht mit Fingerrechnen gleichzusetzen; die Finger sind aber ein naheliegendes Hilfsmittel, solange ein Kind noch über keine anderen Strategien als das zählende Rechnen verfügt.

"Faktenabruf": Die Lösung der Plus- oder Minusaufgabe wird "einfach gewusst", das Kind kann die Lösung aus dem Langzeitgedächtnis abrufen.

"Ableitung": Das Kind weiß die Lösung der gefragten Aufgabe zwar noch nicht auswendig, kann es sich aber aus einer anderen Aufgabe (die selbst bereits "einfach gewusst" wird) "ableiten", erschließen. Beispiel: Bei 3+4 fällt dem Kind 3+3=6 ein und es denkt weiter: "Dann ist 3+4 um 1 mehr, also 7".

Die aktuelle deutschsprachige Fachdidaktik sagt sehr klar und einhellig: Zählendes Rechnen noch in höheren Schuljahren gilt als "Sackgasse der mathematischen Entwicklung" (Lorenz & Radatz 1993) und "Hauptmerkmal" von Rechenschwächen (vgl. etwa Schipper 2003). Kinder sollten daher möglichst schon im Laufe des erste Schuljahres das "zählende Rechnen" überwinden und zu nicht-zählenden Strategien ("Faktenabruf", "Ableitung") übergehen.

Soweit die Zielvorgabe der Fachwissenschaft. Was aber ist österreichische Schulwirklichkeit?

Dazu liegen nun erstmals wissenschaftlich abgesicherte Daten vor. Michael Gaidoschik, Leiter der Rechenschwäche Institute Wien-Graz, hat für seine Dissertation "Die Entwicklung kindlicher Lösungsstrategien zu den additiven Grundaufgaben im Laufe des ersten Schuljahres", 139 durch Zufallsauswahl bestimmte niederösterreichische Kinder zu Beginn, Mitte und am Ende ihres ersten Schuljahres zu ihren Rechenstrategien im Zahlenraum bis 10 und 20 befragt.

Der Unterricht, den diese Kinder in ihrem ersten Schuljahr erfahren haben, wurde durch eine Schulbuchanalyse und eine LehrerInnenbefragung in den Blick genommen. Die wesentlichen Ergebnisse dieser Studie werden im Folgenden kurz dargestellt. Genauere Informationen können Sie dieser Powerpoint-Präsentation entnehmen.

Die Dissertation ist ab sofort über die Universitätsbibliothek der Universität Wien zugänglich. Eine gekürzte Fassung ist im Peter Lang Verlag erschienen.

Titel
"Die Entwicklung kindlicher Lösungsstrategien im Bereich der additiven Grundaufgaben im Laufe des ersten Schuljahres"

Verfasser
Michael Gaidoschik, Rechenschwäche Institut Wien, Institutsleitung

Förderungen
Das Forschungsprojekt wurde in der Anfangsphase vom Bundesministerium für Unterricht, Kunst und Kultur über die Pädagogische Akademie des Bundes in Wien (jetzt Pädagogische Hochschule Wien) aus den Mitteln der Forschungsförderung für pädagogische Tatsachenforschung finanziell unterstützt.

Zudem kam der MNI-Fonds für Unterrichts- und Schulentwicklung an der Universität Klagenfurt für einen Teil der erheblichen, durch die zahlreichen Schulbesuche entstandenen Reisekosten auf.

1) Design und Methoden

Die Dissertation (Universität Wien, Erstleser: Univ.Doz.Dr.Hanisch, Uni Wien; Zweitleserin: Prof.Dr. Anna Susanne Steinweg, Uni Bamberg) beruht auf vier empirischen Studien, die qualitative und quantitative Methoden kombinieren:

• Längsschnittstudie mit qualitativen Interviews zur Ergründung der Rechenstrategien von 139 niederösterreichischen Kindern aus 20 Volksschulen/22 Klassen (strenge Zufallsauswahl) zu Beginn, Mitte, und am Ende ihres ersten Schuljahres

• Qualitative Inhaltsanalyse der fünf im Unterricht dieser Kinder verwendeten Mathematik-Schulbücher

• Befragung der 22 LehrerInnen dieser Kinder zu didaktisch-methodischen Gestaltung ihres Arithmetik-Unterrichts im ersten Schuljahr

• Befragung der Eltern u.a. zum häuslichen Übungsaufwand im Rechnen während des ersten Schuljahres

2) Wesentliche Ergebnisse der Längsschnittstudie zur Strategieentwicklung im ersten Schuljahr

• Nur etwa 35% der Kinder erreichen in ihrer Rechenstrategieentwicklung das von der aktuellen deutschsprachigen Fachdidaktik formulierte Ziel der weit gehenden Überwindung des zählenden Rechnens im ersten Schuljahr. Diese Kinder lösen wenigsten zwei Drittel der ihnen gestellten nicht-trivialen Additionen und Subtraktionen im Zahlenraum bis 10 durch Faktenabruf oder Ableitung. (Als "trivial" gewertet wurden Verdoppelungsaufgaben im Zahlenraum bis 10, die am Ende des ersten Schuljahres von nahezu 100% der Kinder auswendig gewusst wurden, sowie Additionen mit 1 als Summanden und Subtraktionen mit 1 als Subtrahenden.)

• Auf der anderen Seite sind etwa 27% der Kinder am Ende des ersten Schuljahres weit gehend zählende Rechner/innen, sie lösen mehr als zwei Drittel der nicht-trivialen Aufgaben durch eine Zählstrategie.

• 7% der Kinder lösen sämtliche nicht-trivialen Aufgaben im Zahlenraum bis 10 zählend.

• Jene Kinder, die am Ende des ersten Schuljahres das zählende Rechnen im Zahlenraum bis 10 vollständig oder weitgehend überwunden haben, haben fast durchgehend im Laufe des ersten Schuljahres (in unterschiedlicher Intensität) sogenannte "Ableitungsstrategien" verwendet, d.h.: Sie haben Aufgaben, die sie schon früh auswendig wussten (wie etwa Verdoppelungsaufgaben) benützt, um sich das Ergebnis noch nicht auswendig gewusster Aufgaben zu erschließen. Solche Strategien sind im Unterricht nicht oder nur am Rande behandelt worden (siehe unten). Diese Kinder scheinen solche Ableitungsstrategien also weitgehend selbstständig entwickelt zu haben. Es gibt starke empirische Hinweise dafür, dass gerade das wiederholte Lösen von Aufgaben mit Hilfe von Ableitungsstrategien wesentlich dazu beigetragen hat, dass die (zunächst abgeleiteten) Aufgaben am Ende des ersten Schuljahres oft bereits automatisiert waren.

• Umgekehrt haben jene Kinder, die am Ende des ersten Schuljahres die nicht-trivialen Aufgaben im Zahlenraum bis 10 (fast) ausschließlich zählend lösten, in der Regel bei keinem der drei Interviews im Laufe des ersten Schuljahres Ableitungsstrategien verwendet. Auch diese Kinder wussten in der Regel einige Aufgaben auswendig (in der Regel zumindest die Verdoppelungen), nutzten diese aber nicht, um andere Aufgaben nichtzählend zu lösen.

3) Wesentliche Ergebnisse der Unterrichtsanalyse

In den untersuchten Schulklassen verwendet und daher für diese Studie inhaltlich analysiert wurden die folgenden Schulbuchwerke:

AG MATHEMATIK (Hg.) (2003): Matheblitz 1. Wien: Jugend & Volk (verwendet in 2 von 22 Klassen).

BRUNNER, Edith u.a. (2004): Zahlenreise 1. Mathematik für die 1. Schulstufe. Linz: Veritas-Verlag (verwendet in 12 von 22 Klassen).

BUBLATH, Helmut; FÜRNSTAHL, Gerlinde; HÖNISCH, Kurt u.a. (2005): Zahlen-Zug 1. Wien: Dorner (verwendet in 5 von 22 Klassen).

EDER, Johann; JAROLIM, Franz; SCHÖN, Rudolf (2001): Mein erstes Mathematikbuch. Wien: Jugend & Volk (verwendet in 2 von 22 Klassen).

FRIEDL, Martina (2004): Funkelsteine 1 Mathematik. Wien: Dorner (verwendet in 1 von 22 Klassen). 

• In allen fünf Schulbüchern wird der Zahlenraum bis 10 kleinschrittig eingeführt – gegen die einhellige klare Empfehlung der aktuellen deutschsprachigen Fachdidaktik, zumindest den Zahlenraum bis 10 (wenn nicht bis 20) als Ganzheit zu behandeln (zur Empfehlung vgl. etwa Padberg 2005, S. 29).

• Keines der Bücher ist in erkennbarer Weise dafür konzipiert, die von der aktuellen Fachdidaktik einmütig empfohlene Erarbeitung des Denkens von „Zahlen als Zusammensetzungen aus anderen Zahlen“ (Gerster 2009, S. 267) wirksam zu unterstützen und auf dieser Basis nicht-zählende Rechenstrategien ("Ableitungsstrategien", s.o.) gezielt zu erarbeiten (vgl. dazu etwa Gaidoschik 2007; Gerster 1994, S. 47-62; Gerster 2009, S. 262 ff.).

• Keines der fünf Bücher liefert konsequent Anstöße und Anregungen dafür, dass Kinder über Rechenstrategien diskutieren und diese in Klassengesprächen erläutern und begründen (zur Bedeutung dieser gleichfalls einmütigen Empfehlung der aktuellen Fachdidaktik vgl. etwa Schipper 2002, S. 137).

• In allen fünf Büchern werden die Kinder mit einer „Flut von grauen Päckchen und bunten Hunden“ (vgl. Wittmann 1994) konfrontiert, also mit mehrheitlich unstrukturierten Übungsaufgaben – gegen den einmütigen klaren Rat der Fachdidaktik, dass im frühen Arithmetikunterricht vorrangig operativ strukturiert geübt werden sollte, dass also die Aufgaben innerhalb eines „Übungspäckchens“ jeweils in einem quantitativ-gesetzmäßigen Zusammenhang stehen sollten, der mit den Kinder herauszuarbeiten ist (vgl. Krauthausen & Scherer 2007, S. 124 f.; Wittmann 1994).

• In allen fünf Büchern wird gegen den einhelligen Rat der aktuellen Fachdidaktik (vgl. dazu etwa Krauthausen & Scherer 2007, S. 24 ff.) für den Zehnerübergang ausschließlich das so genannte „Teilschrittverfahren“ (auch "Zehnerstopp" genannt, Beispiel: 6+7 wird in die Teilschritte 6+4 und 10+3 zerlegt) thematisiert und nicht auch alternative Verfahren wie etwa „Verdoppeln plus 1“ (6+7 als 6+6+1) oder „Kraft der Fünf“ (6+7 als 5+5+1+2).

Wesentliche Ergebnisse der Lehrer/innenbefragung:

• Die Lehrer/innen haben sich in didaktisch-methodischer Hinsicht eng an dem von ihnen jeweils verwendeten Schulbuch orientiert. Die Bücher wurden in allen Klassen von der ersten bis zur letzten Seite (mit allenfalls marginalen Auslassungen) abgearbeitet.

• Zählendes Rechnen wurde in der Mehrheit der Klassen zumindest bis zum Ende des ersten Schulhalbjahres (und in zumindest sechs der 22 Klassen während des gesamten ersten Schuljahres) gezielt geübt.

• Ableitungsstrategien wurden (den Schulbüchern gemäß) weitgehend vernachlässigt.

• Dem Auswendiglernen von Grundaufgaben (welches in zumindest beschränktem Umfang auch unverzichtbare Grundlage für das Anwenden von Ableitungsstrategien ist) wurden nur von einer Minderheit (weniger als einem Drittel) der Lehrkräfte gezielte Maßnahmen im Unterricht und/oder zur Einbeziehung des häuslichen Übens gewidmet.

Als vordringlichste pädagogische Konsequenz lässt sich aus der vorliegenden Studie ableiten, dass Maßnahmen zur Steigerung der didaktisch-methodischen Qualität des Arithmetikunterrichts in österreichischen Volksschulen erforderlich sind, wenn künftig verhindert werden soll, dass – wie es derzeit der Fall ist – ein beträchtlicher Teil der Kinder noch am Ende des ersten Schuljahres vorwiegend zählend rechnet und damit in seiner weiteren arithmetischen Entwicklung massiv beeinträchtigt ist.

Diese Maßnahmen betreffen in erster Linie die Aus- und Weiterbildung von Volksschullehrer/inne/n, die auf Grundlage ihres Ausbildungsstandes derzeit in der Regel (der Autor kennt viele Ausnahmen!) offenbar nicht in der Lage sind, den Arithmetikunterricht im ersten Schuljahr gemäß den Empfehlungen der aktuellen Mathematik-Fachdidaktik gestalten zu können.

Dass alle Lehrkräfte, die im Rahmen dieser Studie befragt wurden, erkennbar nach bestem Wissen und Gewissen und mit hohem pädagogischen Engagement unterrichtet haben, sei an dieser Stelle ausdrücklich festgehalten. Sie haben so unterrichtet, wie sie das gelernt haben und wie es die von ihnen verwendeten, vom Bundesministerium approbierten Schulbücher ihnen nahegelegt haben.

Würde man nun den Lehrkräften die Verantwortung für die in der Tat erschütternden Ergebnisse dieser Studie zuschieben, so wäre dies sachlich falsch und für die Weiterentwicklung des Mathematikunterrichts in Österreich fatal!

Ergänzend zu Maßnahmen in der Aus- und Fortbildung muss künftig sicher gestellt werden, dass Mathematik-Schulbücher, die vom Unterrichtsministerium als „für den Unterricht an Volksschulen geeignet“ approbiert werden, in zentralen Fragen der Didaktik und Methodik den Empfehlungen der aktuellen fachdidaktischen Forschung entsprechen.

Dies ist bei keinem der fünf Unterrichtswerke der Fall, die in den für diese Studie nach Zufallsprinzip ausgewählten Klassen verwendet wurden.

Die Studie macht zudem die Notwendigkeit verstärkter Bemühungen um die frühe mathematische Bildung bereits im Kindergartenalter deutlich, ebenso die Notwendigkeit von Maßnahmen, um Mädchen in höherem Maße als bisher für die (frühe) Beschäftigung mit mathematischen Inhalten zu interessieren (Mädchen lösten, als Gruppe betrachtet, signifikant mehr Aufgaben durch Zählstrategien als Buben).

Zitierte Literatur:

GAIDOSCHIK, Michael (2007): Rechenschwäche vorbeugen - Erstes Schuljahr: Vom Zählen zum Rechnen. Wien: G&G.

GERSTER, Hans-Dieter (2009): Schwierigkeiten bei der Entwicklung arithmetischer Konzepte im Zahlenraum bis 100. In: Fritz, Annemarie; Ricken, Gabi; Schmidt, Siegbert (Hg.) (22009): Rechenschwäche. Lernwege, Schwierigkeiten und Hilfen bei Dyskalkulie. Weinheim, Basel, Berlin: Beltz, S. 248-268.

GERSTER, Hans-Dieter (1994): Arithmetik im Anfangsunterricht. In: ABELE, Albrecht; KALMBACH, Herbert (Hg.): Handbuch zur Grundschulmathematik, 1. und 2. Schuljahr. Stuttgart: Klett, S. 35-102.

KRAUTHAUSEN, Günter; SCHERER, Petra (2007): Einführung in die Mathematikdidaktik. Heidelberg – Berlin: Spektrum.
LORENZ, Jens-Holger; RADATZ, Hendrik (1993): Handbuch des Förderns im Mathematik-Unterricht. Hannover: Schroedel.

PADBERG, Friedhelm (2005): Didaktik der Arithmetik. Heidelberg: Spektrum.

SCHIPPER, Wilhelm (2003): Thesen und Empfehlungen für den schulischen und außerschulischen Umgang mit Rechenstörungen. In: Lenart, Friederike; Holzer, Norbert; Schaupp, Hubert (Hg.): Rechenschwäche – Rechenstörung – Dyskalkulie: Erkennung, Prävention, Förderung. Graz: Leykam, 2003, S. 103-121.

SCHIPPER, Wilhelm (2002): „Schulanfänger verfügen über hohe mathematische Kompeten-zen.“ Eine Auseinandersetzung mit einem Mythos. In: Peter-Koop, Andrea (Hg.): Das besondere Kind im Mathematikunterricht der Grundschule. Offenburg: Mildenberger, S. 119-140.

WITTMANN, Erich Ch. (1994): Wider die Flut der „bunten Hunde“ und der „grauen Päckchen“: Die Konzeption des aktiv-entdeckenden Lernens und des produktiven Übens. In: Wittmann, Erich Ch.; Müller, Gerhard N. (21994): Handbuch produktiver Rechenübungen, Band 1. Vom Einspluseins zum Einmaleins. Stuttgart – Düsseldorf – Berlin – Leipzig: Klett, S. 157-171.