Anregungen für die Erarbeitung
der "Zehnerüberschreitung"

Die Überschreitung eines Zehners in Rechnungen wie 8 + 5 oder auch 38 + 5 ist einer der „programmierten Stolpersteine“ in der Grundschulmathematik – nicht nur für Kinder mit Rechenstörungen. Während andere Kinder aber diese Operation im Laufe der zweiten Schulstufe automatisieren, bleibt sie für viele „rechenschwache“ Kinder oft bis in die Sekundarschulzeit hinein ein fehleranfälliges, zeitaufwendiges, mitunter auch gänzlich unlösbares Unterfangen.

Im folgenden sollen in der hier unvermeidlichen Kürze einige Anregungen dazu gegeben werden, wie durch Einzelförderung auch jene Kinder eine sichere, nicht zählende Zehnerüberschreitung lernen können, die dies im Klassenunterricht nicht geschafft haben bzw. nicht zu schaffen drohen.

Eines aber vorweg: Wundermittel sind hier nicht zu erwarten. Auch in diesem Bereich geht es, wie stets bei Fördermaßnahmen für Kinder mit Rechenstörungen, einerseits um Fragen der Mathematik-Didaktik auf hohem, hochspezialisiertem Niveau. Andererseits spielen aber stets auch die familiären, sozialen, schulischen Rahmenbedingungen in Wechselwirkung mit der Psyche und der intellektuellen Gesamtpersönlichkeit des Kindes eine mindestens gleichrangige Rolle.

Bei hartnäckigen Schwierigkeiten im mathematischen Lernen muss daher stets eine umfassende Abklärung sämtlicher Rahmenbedingungen stattfinden. Erst auf dieser Grundlage kann im Einzelfall über tatsächlich hilfreiche Maßnahmen in Zusammenarbeit von Schule, Eltern und gegebenenfalls auch außerschulischen Fachkräften entschieden werden.

1. Sichern der Grundlagen

Rechenschwache Kinder kennen oft nur eine Möglichkeit, „über den Zehner“ zu kommen: Sie „zählen weiter“. Bei 34 + 9 etwa müssen sie sich mühsam über „35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43!“ hochkämpfen. Zuweilen kommt es dabei zu „Fehlern um 1“, weil das Kind nicht weiß, bei welcher Zahl es mit dem Zählen beginnen soll.

Manche Kinder schaffen es auch gar nicht, ihre 10 Finger so einzusetzen, dass sie damit auch „über 10“ wenigstens zählend zu halbwegs sicheren Resultaten gelangen. Andere wieder scheitern daran, dass sie beim Weiterzählen nicht wissen, was „nach 39“ kommt.

All das zeigt, dass diese Kinder nicht erst bei der Zehnerüberschreitung selbst, sondern bereits in vorgelagerten Bereichen tiefgreifende Defizite mit sich herumschleppen.

Insofern lautet der oberste, vielleicht banale, aber durch nichts ersetzbare Ratschlag für die Überwindung von Schwierigkeiten mit dem Zehnerübergang: Zuallererst muss überprüft werden, ob das Kind denn schon eine Grundsicherheit in all jenen Bereichen aufweist, die für diese fortgeschrittene Operation bereits vorausgesetzt sind.

Im wesentlichen sind das die folgenden:

• Das Kind muss verstanden haben, dass Zahlen Gesamtheiten von Einern sind, die auf verschiedene Weise in andere Gesamtheiten = Zahlen „zerlegt“ werden können.
• Das Kind muss sämtliche Möglichkeiten der „Zerlegung“ aller Zahlen bis 9 weitgehend automatisiert haben, das heißt: Es muss diese „Zerlegungen“ ohne großen Denk- und Konzentrationsaufwand jederzeit abrufen können.
• Das Kind muss bei jeder Zahl bis 9 automatisiert haben, „wie viel auf 10 fehlt“.
• Das Kind muss verstehen, dass 1 Zehner nichts anderes ist als die „Bündelung“ von 10 Einern.
• Das Kind muss über einen „Zahlenraum“ verfügen, muss über den „nächsten Zehner“ einer Zahl bescheid wissen und darüber, wie es „bis zum nächsten Zehner“ ergänzen kann.

Was bei Defiziten in diesen Bereichen getan werden kann, wurde in früheren Nummern unseres Magazins skizziert (vgl. Heft 1 zum Zahlenzerlegen sowie Heft 2 zu Zehnern und Einern). Ohne die vorherige Aufarbeitung solcher Defizite ist eine sinnvolle Arbeit an der Zehnerüberschreitung unmöglich!

2. Der Zehner als
„Zwischenstation“ – warum?

Viele Kinder verstehen die Zehnerüberschreitung schon deshalb nicht, weil ihnen nicht klar ist, warum zuerst ausgerechnet „bis 10“ oder „bis zur nächsten Zehnerzahl“ gerechnet werden soll.

Das „schulmäßige“ Verfahren sieht ja zum Beispiel für 7 + 9 folgende Schritte vor:

7 + 9 = 7 + 3 + 6 = 10 + 6 = 16

Vom rein zählenden Zahlverständnis eines rechenschwachen Kindes aus ist diese Schrittfolge nicht nachvollziehbar. Das Zählen wird ja um nichts leichter, wenn ich zunächst nur „bis 10“ zähle und dann „von 10“ weiterzähle. Wozu also das umständliche „Zuerst bis 10, dann weiter“?

Es müsste daher noch vor der Erarbeitung der Zehnerüberschreitung das Bewusstsein dafür geschärft werden, dass es überhaupt so etwas wie „leichtere“ und „schwerere“ Rechnungen gibt. Und dafür, dass Rechnungen der Art „Zehnerzahl plus Einer“ zu den allerleichtesten gehören.

Das stimmt natürlich nur dann, wenn solche Rechnungen (Beispiele: 10 + 4; 30 + 6) vom Kind tatsächlich nichtzählend gelöst werden können. Das wiederum setzt Einsicht in das Stellenwertsystem voraus – wie oben ausgeführt.

Auf Grundlage dieser Einsicht sollte aber in das Thema „Zehnerübergang“ mit Aufgaben eingestiegen werden, die gänzlich „ohne Rechnen“ zu lösen ist: Aus einer Fülle von vorgelegten Plusaufgaben soll das Kind einfach nur jene herausfinden, die „leicht“ sind. Dem Kind werden also Rechnungen wie

10 + 3, 7 + 8, 4 + 9, 10 + 5

vorgelegt. Das Kind soll die „leichten“ davon herausfinden. Und es soll sagen, warum gerade diese Aufgaben – im obigen Beispiel:

10 + 3, 10 + 5

so leicht sind.

Ein bereits weitergehender Schritt sind Aufgaben der Art

8 + 2 + 5 = 10 + 5 = 15

10 ergibt sich hier durch Lösen der ersten Plusaufgabe als Zwischenergebnis. Das Weiterrechnen ist dann wieder „babyleicht“.

Im nächsten Schritt sollen Aufgaben der Art

8 + 5 + 2 = 8 + 2 + 5 = 10 + 5 = 15

gelöst werden. Das Kind soll also erkennen, dass die Aufgabe nach Vertauschen der Zahlen wieder so „babyleicht“ zu lösen ist wie die vorangegangenen.
So kann Schritt für Schritt das Bewusstsein geschärft werden, dass und warum es beim Plusrechnen von Vorteil ist, wenn man genau 10 bzw. eine reine Zehnerzahl als Zwischenergebnis hat.

3. Der geeignete Zahlenraum

Die Einsicht für diesen Rechenvorteil kann unter Umständen leichter erfolgen, wenn die Zehnerüberschreitung gleich im Zahlenraum 98 erarbeitet wird – und nicht zunächst nur im Zahlenraum 18. Denn beim Überschreiten des ersten Zehners ist das „Schulverfahren“ zumeist von Anfang an in einer unglücklichen „Konkurrenzsituation“ zum Lösungsweg „über den Zehner zählen“.

Für ein Kind, das halbwegs rasch bis 20 zählen kann, ist ja zumindest anfangs die zählende Lösung allemal die schnellere.

Im höheren Zahlenbereich ist die Ausgangslage anders. Deshalb leuchtet es dem Kind in diesem Zahlenraum vielleicht eher ein, dass das Zerlegen von Vorteil sein könnte. Hat es dieses Verfahren im höheren Zahlenbereich erarbeitet, wird es dieses bereitwillig auch im Zahlenraum 18 anwenden.

4. Gezielte Ablösung vom Material

Gerade bei der Erarbeitung der Zehnerüberschreitung muss der Einsatz von Material mit höchster Sorgfalt erfolgen.

Ein zählendes Kind wird beispielsweise mit einem „Rechenrahmen“ (je 10 Kugeln auf einer Stange) Zehnerüberschreitungen wohl leichter bewältigen als ohne dieses Hilfsmittel – aber eben bloß durch mechanisches Abzählen. Es wird deshalb bei noch so vielen Wiederholungen kaum Einsicht in das mehrschrittige „Überschreiten durch Zerlegen“ gewinnen können.

Denn seine Aufmerksamkeit ist ganz auf das Einzeln-Hochzählen gerichtet. Dass es dabei zu den Kugeln der „ersten Zahl“ für die „zweite Zahl“ Kugeln von zwei Stangen „dazuschieben“ muss, dass also diese zweite Zahl auf zwei Stangen „zerlegt“ ist, wird dabei in der Regel nicht mitgedacht.

Dasselbe gilt im Grunde für jedes Material, wie es für die Zehnerüberschreitung zum Einsatz kommt. Man muss sich also darüber im Klaren sein, dass das Material für sich noch längst keine Einsicht bewirkt; mehr noch: Dass das Material, wenn es zählend verwendet wird, lediglich die unzureichende „Strategie“ des Kindes bestärkt.

5. Sorgfältige Auswahl der Zahlen

Tatsächlich erweist sich in der Erarbeitung der Zehnerüberschreitung der Einsatz von Material oft als weitgehend verzichtbar. Sind tatsächlich alle Voraussetzungen geklärt (siehe oben!), so ist bei entsprechender Erarbeitung das Gesamtverfahren zumeist ohne längere Materialphase nachvollziehbar – vor allem dann, wenn anfangs größte Sorgfalt auf die Auswahl der Zahlen gelegt wird.

Nicht jede Zehnerüberschreitung ist nämlich für das Kind gleich leicht oder gleich schwer nachvollziehbar. Das Verstehen des Gesamtablaufs wird wesentlich einfacher, wenn dem Kind die beim Überschreiten benötigte Zahlenzerlegung bereits selbstverständlich geworden ist.

Zum „Einstieg“ in das Zehnerüberschreiten geeignet:
die „Handverlegungen“ wie 7 = 5 + 2, 8 = 5 + 3

Es lohnt also, anfangs ganz bewusst nur jene Überschreitungen zu machen, die mit „leichten“ Zerlegungen lösbar sind. Gerade die „Handzerlegungen“ in „5 + Rest“ der Zahlen 6 bis 9 bieten sich dafür an.
Das gilt vor allem dann, wenn diesen Zerlegungen bei der Erarbeitung des Zahlenraums 9 jener Platz eingeräumt wurde, der ihnen als „Ankeraufgaben“ gebührt (vgl. Österreichisches Rechenschwäche Magazin Nr. 1, pdf 277KB).

So könnte also – ohne dass weiteres Material mit Ausnahme der (nicht zählend eingesetzten!!!) Finger benötigt wird – der weitere Fortgang folgendermaßen aussehen:

a.

Der Einstieg erfolgt an den Rechnungen 5 + 6, 5 + 7, 5 + 8, 5 + 9 (bzw., siehe oben unter 3., gleich an Rechnungen wie 45 + 7, 75 + 8 etc.). Der Vorteil des zweischrittigen Dazugebens bei gleichzeitiger Zerlegung der zweiten Zahl leuchtet hier unschwer ein.

Dargestellt am Beispiel

5 + 8

Bei 8 denkt das Kind (das muss natürlich erarbeitet worden sein!) die Zerlegung in 5 + 3 immer schon mit. Wenn es nun zu den bereits vorliegenden 5 diese 8 dazugeben soll, wird ihm unschwer einleuchten, dass es am leichtesten zuerst das „Fünferpaket“, danach das verbleibende „Dreierpaket“ dazugeben kann.

Denn 5 + 5 = 10 ist genauso „babysch“ wie das danach noch nötige 10 + 3 = 13.

b.

Die Einsicht kann befördert werden, wenn die Aufgabe
5 + 8 in „Partnerarbeit“ mit den Händen gelöst wird:

Die Betreuungsperson streckt dazu alle Finger einer Hand aus – das sind die 5, die „zuerst da sind“. Das Kind soll nun die 8 zeigen, die dazugegeben werden müssen. Es streckt – ohne zählen zu müssen – alle 5 Finger der einen und noch 3 Finger der anderen aus. Wie viele Finger sind es nun insgesamt? Auch dafür muss nicht gezählt werden:

Die beiden vollen Hände zusammen (wenn’s Spaß macht, dabei auch wirklich zusammenklatschen!) sind natürlich 10 Finger, noch 3 dazu, macht 13!

Bei richtiger, nicht-zählender Verwendung ein perfektes Material für die Erarbeitung der Zehnerüberschreitung:
die Finger.

c.

In den nächsten Übungseinheiten wird darauf hingearbeitet, diese ausgewählten Rechnungen in genau denselben Schritten, aber ohne Einsatz der Hände zu lösen. Als Zwischenschritt bietet sich an, die Hände „verdeckt“ einzusetzen, indem beispielsweise das Ausstrecken der Finger unter der Tischplatte geschieht.

d.

Ist das Prinzip des Dazugebens in zwei Schritten einmal geklärt, sollte parallel zu den weiteren Übungen immer auch verschriftlicht werden. Zum Verdeutlichen der Zerlegung bietet sich die oft praktizierte „Hütchen-Schreibweise“ an:

e.

Gerade anfangs wird es oft hilfreich sein, die Schritte auch einzeln aufschreiben zu lassen, etwa in dieser Art:

f.

Im nächsten Schritt werden Aufgaben vom Typ 6 + 9 oder 7 + 8 erarbeitet. Das Prinzip dabei: Wieder wird die zweite Zahl nach dem Muster der „Handzerlegung“ in zwei „Portionen“ aufgeteilt. Diesmal werden aber nicht die „5 Finger der vollen Hand“ im ersten Schritt dazugegeben, sondern die „restlichen Finger der anderen Hand“:

Das ist bereits weniger „selbstverständlich“ als das „Zusammenklatschen“ von zwei vollen Händen bei den eingangs gewählten Rechnungen. Es setzt überdies Sicherheit im „Ergänzen auf 10“ voraus. Zudem zeigt sich hier, ob das Kind wirklich verstanden hat, dass und warum es im ersten Schritt genau 10 als Zwischenergebnis erreichen soll.

g.

Ist auf diese Weise ein grundsätzliches Verständnis für den Vorteil des Zerlegens erarbeitet, dann wird dieses Verfahren unschwer auch auf andere, weniger „einladende“ Zahlen übertragen. Selbst jetzt kann man noch durch genau ausgesuchte Zahlen diese Übertragung erleichtern – indem man beispielsweise anfangs immer auf einen „leichten“ Zehnerübergang den dazugehörigen „Nachbar-Übergang“ folgen lässt. An einem Beispiel:

In 5 + 9 muss das Kind 9 in 5 + 4 zerlegen. In 4 + 9 ist die „Nachbarzerlegung“ der 9 in 6 + 3 gefragt. Die unmittelbare Koppelung dieser Aufgaben erleichtert dem Kind – wenn diese Art des „vergleichenden Rechnens“ entsprechend mit ihm erarbeit wurde – die weitere Einsicht in die Vorteile des „Zerlegens“.

6. Zeitliche Trennung von Plus und Minus

Die meisten der oben gegebenen Anregungen gelten in analoger Weise auch für die Erarbeitung der Zehnerunterschreitung. Dabei empfiehlt sich für „rechenschwache“ Kinder zumeist eine deutliche zeitliche Trennung: Die Subtraktion mit Unterschreitung sollte erst angegangen werden, wenn im zerlegenden Überschreiten bereits eine gewisse Sicherheit und Selbstverständlichkeit erreicht worden ist.

Diesen Artikel finden Sie auch im Österreichisches Rechenschwäche Magazin Nr.4/2001 (pdf, 356KB)

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